Toto je hodně obsáhlá problematika, nicméně v zásadě máš pravdu. Mixpult slouží k připojení několika (mnoha) různých zdrojů audio signálu a následnému smíchání a distribuci do koncových zesilovačů/reproboxů. A to jednak do PA(my říkáme "předků") - tzn těch co z nich slyší posluchači v sále a druhak do odposlechových cest -tzv. monitorů, které jsou umístěny na podiu proto, aby se hudebníci v té kakofonii slyšeli. Nastavování zvuku je věda a obvykle se k tomu používá ještě spousta dalších udělátek - kompresory, limitery... efektové procesory... některé, hlavně levnější pulty mají spoustu efektů integrovaných, jejich kvalita je ovšem různá...
Při nahrávání v domácích podínkách "po nástrojích" není ani mix potřeba. Nicméně třeba ve zkušebně, pokud chci nahrát celou kapelu naráz tak mix potřebuju, viz výše, akorát výstup nejde do PA ale do nahrávadla (viz níže)...
Studio je kapitola sama pro sebe... Opět mix může sloužit zároveň k distribuci signálů do monitorů (sluchátek) atd., digitální mixy umí spolupracovat se software v PC...
Při nahrávání není často potřeba na mixu provádět nějakou equalizaci signálu, ta se provede až v PC. To ale souvisí s další tvojí otázkou - na co se nahrává.
Dnes nejčastěji do PC, tam se provede zbytek úprav (EQ, komprese, efektování...střih, míchání...) ale klidně se na to může použít i nějaké hardwerové zařízení (procesory...). Pak se ještě stále často nahrává na DAT - což je zjednodušeně řečeno "digitální kazeťák". No a vintage puristé a fajnšmekři nahrávají analogově na magnetický pás, teda "magneťák" a používají analogové, nejlépe lampové serepetičky

(efekty, kompresory...).
V amatérských podmínkách nebo doma můžeš použít cokoliv co dokáže zaznamenat audio signál - kazeťák, diktafon, MP3 která má audio vstup... videokamera...některé multiefekty a loop stationy... záleží čeho chceš vlastně dosáhnout (nahrát demo CD, orientační "zkušebnové" nahrávky, zaznamenat nápad...) a co máš k dispozici - tedy vpodstatě kolik do toho vrazíš peněz a jak toho dokážeš využít.
Tohle všechno co jsem napsal je jen takový letmý úvod do úvodu a na spoustu věcí jsem určitě zapoměl...